初見の問題を解けるようになるための勉強法～躓いたのがどこか把握して～
どうもこんにちは！
しおさいです。
今回は初見の問題が解けるようになる勉強法と題して
例題を一問挙げながら解説したいと思います。
1. その勉強法とは
その勉強法とはずばり
”問題の解答を分解してどこで躓いたのか考え、何を身に着けるべき探る”
これです。
漠然と問題演習を積み重ねてしまうことのないようにしたいのですが
意外とこれが難しい。
そうならないために、これから私なりのヒントを例題を交えて説明したいと思います。
例題
p, p+2, p+4がすべて素数となるようなpを求めよ
2. 解答
pを3で割ったあまりで分類する。
①p=3k（kは1以上の整数）の時
pが素数となるのはp=1の時のみでそれ以外は3の倍数となり、素数ではない。
この時p+2, p+4はそれぞれ5, 7となり、題意に適する。
②p=3k+1(kは1以上の整数）の時
p+2=3k+3=3(k+1)
この時k+1は2以上の整数なのでp+1は必ず3以上の3の倍数となり、素数ではないので不適
③p=3k+2（pは0以上の整数）のとき
p+4=3k+6=3(k+2)
この時k+2は2以上の整数より、p+2は必ず3以上の3の倍数となり、素数ではないので不適
よって求める答えはp=3
3. どこで躓いたか考える
この問題で躓いた人がいるとしましょう。
この問題は解答を見ると単純ですがここにたどり着くために
まず最初にやることがあります。
それは様々な素数pで実験することです。
よく整数問題である”実験して規則性をつかむタイプです。
p=2の時 (p, p+2, p+4)=(2, 4, 6) 4, 6が合成数で×
p=3の時 (p, p+2, p+4)=(3, 5, 7) 〇
p=5の時 (p, p+2, p+4)=(5, 7, 9) 9が3の倍数で×
p=7の時 (p, p+2, p+4)=(7, 9, 11) 9が3の倍数で×
p=11の時 (p, p+2, p+4)=(11, 13, 15) 15が3の倍数で×
よく見ると基本的に3の倍数のためにNGが必ず一個含まれています
（p=2の時も6が3の倍数）
きっと(p, p+2, p+4)どれかが必ず3の倍数になるのでは？と予想し
3で割ったあまりでの分類に至るのです。
このように着想まで含めて問題を考えてください。
すると答えに至るプロセスは以下のように分解できるはずです。
ⅰ 実験する
ⅱ 何かが3の倍数であることに気が付く
ⅲ (p, p+2, p+4)のどれかが3の倍数になるだろうと予想する
ⅳ ⅲを示すために3で割ったあまりで分類し、p+2, p+4のどれかを計算した時に
3で割れないか考える
ⅴ ⅳができたので解答としてまとめる。
このうちのどの段階で躓いたのでしょうか？
もしⅰで躓いたのなら整数問題では実験が必要なんだなという教訓が得られます。
ⅱ, ⅲで躓いたら素数であることを示す問題なのですから何の倍数で不適か考える必要があったなという教訓が
ⅳで躓いたら3の倍数を示したいなら3で割ったあまりで分類するという方法があるのだという教訓が得られます。
ⅴで躓いたら先生などに解答の添削を頼むのもいいでしょう。
このように問題を分解して躓いた箇所を特定すると
次の似たような問題に出会った時の教訓・指針が得られるのです。
このような教訓・指針を持っているとほかの問題のも応用しやすくなっていきます。
これが”一問の問題演習で何問も解ける方法を身に着ける”ことにつながります。
是非こうして自分なりの教訓をどんどん溜めて
どんどん未知の問題ができるようになっていきましょう。
今日はこの辺で。
皆様の勉強の助けになりますように。
それではまた。
自己紹介とこのブログの目的
どうもこんにちは！しおさいです。
そういえば自己紹介が全くされていませんでした。
私自身、もともと趣味の資格を取ろうとしてこのブログやツイッターを始めたので
徒然に書くだけでよいだろうと特に自己紹介の必要性を感じていなかったのですが
最近大学入試などの解き方の整理なども発信しているのに
どいつかわからないのもなぁと思って今回書き進めます。
1. しおさいって何者？
私は今普通にサラリーマンしています。
旧帝大の理系の大学院を出ました。
数学が好きで得意なつもりな高校生でした。
模試の全国ランキングに顔を出したこともあり
自信があったのですが
現役で大学を受けた時
最も足を引っ張ったのがまさかの数学でした。
私は難しい問題をうんうん考えるのが好きで
わからないところは一週間とか平気で同じ問題を考えていたのですが
これでは時間の決まった試験の問題がサクサク解けるようにはならなかったようです。
模試レベルだと大失敗はなかった(失敗はたくさんあった)のですが
まさかの本番第一志望でこんなことになるとは思わず、、
このスタイルを捨てるのは正直しんどかったです。
普通の問題を普通の解き方で解く。
今まで楽しんできた数学とはちょっと趣向が違うものでした。
しかし意識を一新してとりあえず夢を掴むためにやってみようと決意。
そうすると今まで解けなかったような問題にも
手が届くようになったのです。
そうして浪人してリベンジを果たすことができました。
そこからしっかりした"型"とか"勉強の仕方"みたいなものがずいぶん変わったなぁと思っていて
どうやれば物事を整理してスッキリ覚え、アウトプットできるのか
ということを私が失敗した数学で伝えたいなぁというのが今の気持ちです。
いずれは他の科目についても出してみたいなぁと思ったりしています。
2. なんでブログ始めたの？
もともと新しい世界を知れる勉強は嫌いではなかったので
社会人になっても資格の勉強したいなと。
資格取得を通してどんどん新しい世界を知っていきたい。
そんな思いで勉強記録みたいな目的で始めました。
しかし書いていくにつれ、ほんの少しでも読んでくれる方が現れ始め
Twitterのフォロワーも増え始めました。
その中の多くが勉強アカウントと言った
中高生が多かったのです。
(私の時代はそんなものはなかったのですが)
みんながモチベを高め合ういい場だなと思っていて
そこに少しでも有意義な情報を発信するには？と考えた結果
"私の苦しんで手にしたノウハウ"
これを発信すべきだなという考えにいたり
一番変化の大きかった数学を例にいろいろ書き始めた次第です。
もしよかったら時々でいいので覗いてみてください。
3. 終わりに
今回は今までしてこなかった自己紹介を念入りにやってみました。
このブログでは
・資格の勉強と取り方、面白い点
・勉強の整理の仕方
などを発信していくつもりです！
これからもよろしくお願いいたします。
それではまた！
大学入試数学 最大値最小値編 領域が指定された最大最小解き方3選その3～領域が指定された時の最小値 別解祭り～
どうもこんにちは。しおさいです。
今日は領域が指定されたときの最大値最小値編最終回。
絶対不等式を使った解法を学習しようと思います。
本来は一番使いにくいはずなのですが
入試問題ではうまく使えるように問題設計がされている場合もあり、
一考の余地のある解法です。
問題はこちら。早稲田大学の過去問です。
この問題の解法を三通り紹介するシリーズで今回は三つ目最終回。
前々回記事
前回記事
本記事では絶対不等式を使う際の目の付け所を示した後に
実際に解答をしてみたいと思います。
twitterで新着記事が出るたびにつぶやいています。
よかったらフォローをお願いいたします。
@G4eaqlGh4c4YfVD(しおさい@勉強)
1. 解答のコンセプト
相加相乗平均の式を書きます。
左辺に一次式の和
右辺に一次式の積
が登場します。今回求めたいのは一次式の和の形の最大値最小値です。
つまりこの不等式を使う際の問題は
どうにかして右辺の一次式の積の形を登場させることにあります。
今回使えそうなのは条件に与えられた式のみ。
この変形は整数問題でも時々使うのでぜひ覚えておきましょう！
2. 解答
を変形する。
x>2, y>2なので両辺の分母を払って
これは
と変形できる。ここで
なのでに対し
x-2>0, y-2>0より相加相乗平均の不等式を使うと
等号成立条件は
かつ
の時。
よって
この条件はx>2, y>2を満たし、
この時2x+yの最小値は
3. 最後に
無理やり整数を足して因数分解するやり方は整数問題などでよく使うので
是非抑えておいてください。
はかったようにx-2やy-2が出てきてこいつらが正なので
相加相乗平均が使えます。
余りつぶしのきく解法ではありませんし
本番でこれができるような受験生は一握りだと思います。
是非この問題の解答記事最初の二つから抑えていってください。
私事ですが初めてtex使ってみました。
モチベになるのでいいねやブックマーク等してくださると泣いて喜びます。
それではまた
大学入試数学 最大値最小値編 領域が指定された最大最小解き方3選その2～領域が指定された時の最小値 別解祭り～
どうもこんにちは！しおさいです。
今回も大学入試数学編
前回の記事の続きとなる
領域が指定された場合の最大値最小値の問題を扱っていきます！
問題はこれ！早稲田大学の問題です。
今回は領域を図示し、2x+y=kと置いて図形的に解く方法を紹介しようと思います。
基本的にこいつらを学べば一通りの武器は揃うと思います！
前回記事はこちら。
求める式が特定の値kを取るようなxが存在するようにkの範囲を絞り込む方法です。
一番オーソドックスな解法なので知っている人も多いと思いますが一応軽く解説します。
本記事ではまず最初にこの方法の概念を解説
次に解答を解説して終わりにしようと思います。
1. この方法の概念
問題集にはのっているので知っている人も多いと思います。
最大値などを求めたい式の値をkとおくと
座標平面上に今回は直線で現れ
y切片が求めたい値になります。
問題で問われている領域を通るような直線の中でy切片のとりうる範囲を求めるという形です。
この問題では下の図のようにとある領域を傾き-2の直線を何本も引いて
y切片で求める式の値を整理するんですね。
2. 解答
この不等式の示す領域は下記図の斜線部のようになる。
ここで最小値を求めたい2x+yの値をkとおくとこのkは領域上のx, yを決めた際に
座標平面上の直線y=-2x+kのy切片として現れる。
このkの最小値は領域を分けている曲線と接する下記図の際にとる。
3. 後書き
今回は一番オーソドックスな解き方を学びました。
一旦求めるものをkとおく
領域を図示し、その領域内を通るような直線を引き
y切片の範囲を調べる。
ここを押さえておきましょう。
次回がこの問題は最終回。
絶対不等式を利用する解法(相加相乗平均)です。
皆様の勉強の整理の一助になりますように。
それではまた！
アウトプットにつながるインプットも意識しよう
こんにちは！しおさいです。
今日はちょっと趣向を変えてアウトプットにつながるインプットについて書いていきたいなと思います。
twitterで新着記事が出るたびにつぶやいています。
よかったらフォローをお願いいたします。
@G4eaqlGh4c4YfVD(しおさい@勉強)
皆さん。わかんなくて解答を見たけど知ってる解き方だったという経験ありませんか？
それが大昔に何回かだけ学んでいて
あぁそんなこともあったなぁ。
であればあまり気にしないという選択肢もありますが
ちょっと前もやったのに！という内容なら考えなくてはいけないことがあります。
それはインプットの仕方です。
最初は必ず個々の問題の解き方を一通り理解する必要があります。
こういうのは暗記でいいのですが
一通り暗記できたら次に考えるべきことがあります。
それはいかにアウトプットしやすい形に知識をまとめ上げるかです。
実は数学以外の科目ではかなりみなさんそうしています。
例えば
・歴史を個々の出来事を覚えるだけでなく年表で整理して流れを掴む
・英単語を単語の意味だけでなく文章の中でどうやって出てくるかまで文章に触れて感覚で掴む
このように"問題になった時に実践的に使える知識にする"訓練をしているんです。
皆さん。数学でそれ、してらっしゃいますか？
多くの人はしていません。
現に私がそうでした。
どうすれば良いのか。
それは"学んだ解き方が効果を発揮する状況で整理する"ということです。
例えば皆さん人気の整数問題だったら
"方程式の両辺が整数である"
という条件だったら
"約数、余り、ひとまず実験して規則性"
これを思い出すようにインプットするんです。
整数問題の記事はこちら。併せて読んでみてください。
これは個人的な一問一問場当たり的に解かない
という意見の具体的な正体だと思っています。
是非こんな感じでいろんな自分なりのインプットをしてみてください。
私も今領域が指定されている場合の最大値最小値について
3つのやり方が効果のある可能性が高い
という内容の記事を執筆中です。
是非まとめ方の参考になれば幸いです。
今のところ一個だけかけてます。
追加したらまたtwitterで報告しますのでよろしくお願いいたします。
今日はこんな感じで。
皆さんの勉強がうまくいきますように。
↓ブックマークしてくれるとモチベに繋がるし喜びます！
大学入試数学 最大値最小値編 領域が指定された最大最小解き方3選その1～領域が指定された時の最小値 別解祭り～
どうもこんにちはしおさいです。
twitterで新着記事が出るたびにつぶやいています。
よかったらフォローをお願いいたします。
@G4eaqlGh4c4YfVD(しおさい@勉強)
今回はシンプルな領域が指定された時の最大値最小値の問題
定石通り＋絶対不等式の利用の3通り紹介しようと思います！
問題はこちら
よくあるタイプの問題です。
こういう問題では解き方が大体三通りあります。
①領域を図示し、2x+y=kと置いてkのとりうる値の範囲として求める。
②2x+y=kとおいてx, yの一文字を消去。領域がx, kの不等式になるので、解となるxがsン在するようなkの範囲を求める。
③相加相乗平均の不等式など絶対不等式を用いる。
一つの記事で全部解説するととんでもない量になるので今回は三つに分けます。
最初は②から。
なぜかというと今回の問題は①を使うと数学ⅲの知識が必要だからです。
1. 定石を知ろう
以前、定石のお話をしました。
是非定石についてしっかり身に着けておいてほしいです。
限られた時間の中で解ける問題の量を最大化する
これが合格の必須要件である以上
普通のやり方で解ける問題を試行錯誤する時間はありません。
こういうものの定石、それは求めたい最大最小値の式の値を定数kと置き
そのkを用いて文字を一つに。
そののちにk以外の文字に着目して（今回はxもしくはy）
定数kを含んだ方程式が解をもつようなkの範囲を求めるというもの。
似たような考えは軌跡と領域にも出てきます。
言葉で一般的に書いてもわからないと思うのでまずはざっと解答を乗せてしまいます。
2. 解答
3. 解答の流れと解説
今回は定数kを含んだxの二次式を考え、x>2に解をもつようなkの条件を求めることで最小値を求めようとしたというのが
この問題の流れです。
なぜこのような方法で解けるのでしょうか？
初めての人には少し違和感があるかと思います。
では少し視点を変えてみましょう。
k=6.1となるような場合はあるでしょうか。
この問題の答えはすぐにわかるかと思います。
k=6.1となるようなx, yが存在するか求めていけばいいわけです。
それはちょうど今回の問題の解き方のようになるはずです。
この解法の発想はずばり
"ある定数kを決めたときにそれを満たすようなx, yが存在するか”というものです。
普通はx, yを求めてから最大最小を求めるかと思います。
それとは逆のルートなのです。
kという値をとるなら必ずそのもととなるx, yの組が存在する。
教科書に具体的に名前は載っていなかったように思いますが
ぜひこの考えをマスターしてみて下さい。
解法の幅が広がると思います。
それではまた
大学入試数学 整数問題編 愛媛大整数続き 泥臭い解答も大事だけどもっと簡単に解きたい！
こんにちは しおさいです。
今回は前回記事で予告した内容です。
前回記事はこちら
その中で下記の式が6×整数であることを示す箇所がありました。
先ほどの記事ではnを6で割ったあまりで分類して解きましたが
もっと簡単な方法ないのかと思ったことでしょう。
一応あります。
しかし先ほどの記事ではあえて泥臭い方法を書きました。
圧倒的につぶしがきくからです。
今回はある意味6の倍数だから使える方法。
武器として持っておくのはいいですがあくまでとっておきのもの。
何も思いつかなかったら普通の方法で解けることを言いたかったのです。
では肝心の解説です。
皆さん絶対6×整数の形になる整式を知っていますか？
そう連続三整数の積です。
(n-1)n(n+1)
これを用いることを考えます。
どうやってって？
これが6×整数＋6×整数であれば全体も6×整数になります。
これを用いるのです。
解答
こんなに簡単です。
泥臭い方法、うまい方法。
どっちも使いこなせるようにしたいですね。
参考書見るとその問題でしかできないうまい解法しか載っていないときもあります。
是非泥臭い解答も思いつけるようにしておいてください。
そうしないと捻った問題に解答できなかったりします。
今日は短め。
それではまた！
