大学入試数学 愛媛大の面白整数問題～短い問題は難しい？～
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@G4eaqlGh4c4YfVD(しおさい@勉強)
本日は愛媛大の整数問題を例に出しながらいわゆる”短い問題は難しい”通説を考えてみます。
皆さん”短い問題は難しい”って聞いたことありませんか？
確かに難しい問題があることは事実です。
しかしだからと言って無意識に身構えてしまうと解ける問題も難しく考えすぎてしまう場合があります。
そこで本記事では
・なぜ短い問題は難しいことがあるのか
・とりあえず条件を使うことの大切さ
を語っていきたいと思います。
1. なぜ短い問題は難しいことが多いのか
短い問題はわかりやすいこともあり、みんなの心に残りやすいですよね
例えば
・円周率が3.05より大きいことを証明せよ（東大）
・1/x+1/y+1/z=1となる自然数x,y,zの組をすべて求めよ（一橋大）
のように半ば伝説のようになっている問題も珍しくありません。
これらは短くて難しいタイプの例です。
これらの問題の共通点は”圧倒的な自由度の高さです。
ほぼ問題文中にヒントとなるような条件はないといってもいいでしょう。
例えば円周率の問題は円の中に内接する多角形を考える必要があります。
これは問題文を読んでいる中で浮かんでくる自然な発想とは言えないのではないでしょうか。
歴史的に円周率が円に内接する多角形による辺の長さとの評価により近似されたことを知っていれば自然な発想ですが
そこまで求めると数学の歴史の授業が必要になってきます。
一方で短いながらも自由度の低い問題もあります。
それが今回紹介する愛媛大の問題のような例です。
こういう問題を物おじせずに正解できれば。という思いで書いています。
ということで前置きが長くなりました。
以下問題文です。
2. 方針
何ができるでしょうか。
ひとまず条件を整理すると
・関数f(x)が与えられている
・f(1), f(-1)が整数
・a, bの範囲
この3つだけです。
このなかで何か展開が動きそうな条件は、、というと二番目の条件です。
ひとまずはf(1), f(-1)を求めて何らかの整数p, qと置いて何かできないか探ってみましょう
すると簡単にa, bの条件式が使える形に解けますよね？
どうやったらこの条件使えるかなぁという視点で考えてみましょう。
条件が少ないがために一本調子で解けてしまう場合もあります。
3. 解答
(1)
(2)
4. 解き終えて
いかがだったでしょうか。
確かに簡単とは言えない問題でしたが、この条件どう使おうかな？
と考えているとなんだかんだ解ける問題でしたね。
実は(2)の前半、相当泥臭く解いていますがうまく因数分解していく方法もあったりします。
これも次回以降記事でまとめられたらと思っています。
以上です。それではまた
